Đo nhiệt độ từ PT100 bằng Arduino: 6 bước (có hình ảnh)

2024 Tác giả: John Day | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2024-01-31 10:26

PT100 là một máy dò nhiệt độ điện trở (RTD) thay đổi điện trở của nó tùy thuộc vào nhiệt độ xung quanh, nó được sử dụng rộng rãi cho các quy trình công nghiệp với động lực chậm và phạm vi nhiệt độ tương đối rộng. Nó được sử dụng cho các quy trình động chậm vì RTD có thời gian phản hồi chậm (mà tôi sẽ nói thêm ở phần sau) nhưng chính xác và có độ lệch thấp theo thời gian. Những gì tôi sẽ cho bạn thấy trong Thiết bị hướng dẫn này sẽ không đạt tiêu chuẩn công nghiệp nhưng nó sẽ cho bạn thấy một cách khác để đo nhiệt độ so với việc sử dụng LM35 mà nhiều người có sở thích sẽ quen thuộc và lý thuyết mạch điện được hiển thị có thể được áp dụng cho các cảm biến khác.

Bước 1: Các thành phần

1x PT100 (Hai dây)

1x Arduino (Mọi kiểu máy)

Bộ khuếch đại hoạt động 3x 741 (LM741 hoặc UA741)

1x Điện trở 80ohm

Điện trở 2x 3,9kohms

2x Điện trở 3,3kohms

2x Điện trở 8,2kohms

2x Điện trở 47kohms

Chiết áp 1x 5kohms

1x Nguồn điện hai đầu cuối hoặc 8x Pin AA 1,5V

Tôi đang sử dụng PT100 hai dây, PT100 ba và bốn dây sẽ có các mạch khác nhau. Các giá trị điện trở cho hầu hết các giá trị này không nhất thiết phải giống hệt như trên nhưng nếu có một cặp điện trở tức là 3,9Kohms, nếu bạn đổi chúng để giả sử là 5k, thì bạn cần phải hoán đổi cả hai để lấy 5k. cần phải giống nhau. Khi chúng tôi nhận được mạch, tôi sẽ nói ảnh hưởng của việc chọn các giá trị khác nhau. Đối với bộ khuếch đại hoạt động (op amps), bạn có thể sử dụng các bộ khuếch đại op khác nhưng đây là những bộ tôi đã sử dụng.

Bước 2: Cầu Wheatstone

Trước tiên tôi cần nói về công thức tính nhiệt độ từ điện trở cho PT100 trước khi tôi nói về phần đầu tiên của mạch, công thức cho điện trở như sau:

trong đó Rx là điện trở PT100, R0 là điện trở PT100 ở 0 độ C, α là hệ số nhiệt độ điện trở và T là nhiệt độ.

R0 là 100ohms vì đây là PT100, nếu là PT1000, R0 sẽ là 1000ohms. α là 0,00385 ohms / độ C được lấy từ biểu dữ liệu. Cũng có một công thức chính xác hơn có thể được tìm thấy ở đây nhưng công thức trên sẽ làm cho dự án này. Nếu chúng ta chuyển đổi công thức, chúng ta có thể tính toán nhiệt độ cho một điện trở nhất định:

Giả sử chúng ta muốn đo thứ gì đó có dải nhiệt độ từ -51,85 đến 130 độ C và chúng ta đặt PT100 vào mạch điện như trong hình 1. Sử dụng phương trình trên và phương trình cho điện áp ra khỏi bộ chia điện áp (được hiển thị trong hình đầu tiên) chúng ta có thể tính toán dải điện áp. Đáy của dải T = -51,85 (80ohms)

và ở 130 độ (150ohms):

Điều này sẽ cho phạm vi 0,1187V và độ lệch DC là 0,142 vì chúng tôi biết nhiệt độ của chúng tôi sẽ không bao giờ xuống dưới -51,85 độ C, điều này sẽ làm giảm độ nhạy trong phạm vi mà chúng tôi quan tâm (80 đến 130ohms) khi chúng tôi khuếch đại điện áp này. Để loại bỏ phần bù DC này và tăng độ nhạy, chúng ta có thể sử dụng cầu Wheatstone được hiển thị trong hình thứ hai.

Đầu ra của bộ phân áp thứ hai (Vb-) sẽ được trừ khỏi đầu ra của bộ chia điện áp thứ nhất (Vb +) bằng cách sử dụng bộ khuếch đại vi sai sau đó. Công thức cho đầu ra của cầu chỉ là hai đầu phân áp:

Điện áp ra cho PT100 là 80ohms và sử dụng các giá trị khác trong hình:

và đối với Pt100 là 150ohms:

Bằng cách sử dụng Wheatstone, chúng tôi loại bỏ phần bù DC và tăng độ nhạy sau khi khuếch đại. Bây giờ chúng ta đã biết cầu Wheatstone hoạt động như thế nào, chúng ta có thể nói về lý do tại sao chúng ta sử dụng 80ohms và 3.3kohms. 80ohms được giải thích từ công thức trên, chọn giá trị này (chúng tôi sẽ gọi đây là điện trở bù Roff) là phạm vi nhiệt độ dưới cùng của bạn hoặc thậm chí tốt hơn, thấp hơn một chút so với dưới cùng của phạm vi của bạn, nếu giá trị này được sử dụng cho một hệ thống điều khiển để điều chỉnh nhiệt độ hoặc một cái gì đó tương tự, bạn sẽ muốn biết nhiệt độ đang xuống dưới phạm vi nhiệt độ của bạn thấp như thế nào. Vì vậy, nếu -51,85C là dưới cùng của phạm vi của bạn, hãy sử dụng 74,975 ohms (-65 độ C) cho Roff của bạn.

Tôi chọn 3,3k cho R1 và R3 vì hai lý do, để hạn chế dòng điện và tăng tuyến tính của đầu ra. Khi PT100 thay đổi điện trở do nhiệt độ, cho quá nhiều dòng điện qua nó sẽ cho kết quả đọc không chính xác do hiện tượng tự làm nóng nên tôi đã chọn dòng điện tối đa là 5-10mA. Khi PT100 là 80ohms, dòng điện là 1.775mA nên dưới phạm vi tối đa một cách an toàn. Bạn giảm điện trở để tăng độ nhạy nhưng điều này có thể có ảnh hưởng tiêu cực đến độ tuyến tính, vì sau này chúng ta sẽ sử dụng phương trình của một đường (y = mx + c) có đầu ra phi tuyến tính sẽ gây ra lỗi. Hình thứ ba có một đồ thị của đầu ra cầu sử dụng các điện trở hàng đầu khác nhau, đường liền nét là đầu ra thực tế và đường chấm là xấp xỉ tuyến tính. Bạn có thể thấy trong đồ thị màu xanh lam đậm (R1 & R3 = 200ohms) cho dải điện áp lớn nhất nhưng đầu ra lại ít tuyến tính nhất. Màu xanh nhạt (R1 & R3 = 3.3kohms) cho dải điện áp nhỏ nhất nhưng đường chấm và đường liền được chồng lên nhau cho thấy độ tuyến tính của nó rất tốt.

Hãy thay đổi các giá trị này cho phù hợp với ứng dụng của bạn, cũng như nếu bạn thay đổi điện áp, hãy đảm bảo rằng dòng điện không quá cao.

Bước 3: Khuếch đại

Trong bước cuối cùng, chúng tôi thấy phạm vi đầu ra của hai bộ chia điện áp bị trừ là 0 đến 0,1187 nhưng chúng tôi chưa nói về cách trừ các điện áp này. Để làm điều này, chúng ta sẽ cần một bộ khuếch đại vi sai sẽ trừ một đầu vào từ đầu vào kia và khuếch đại điều này bằng độ lợi của bộ khuếch đại. Mạch cho một bộ khuếch đại vi sai được hiển thị trong hình đầu tiên. Bạn cấp Vb + vào đầu vào đảo ngược và Vb- ở đầu vào không đảo và đầu ra sẽ là Vb + - Vb- với mức khuếch đại là một tức là không có khuếch đại nhưng bằng cách thêm các điện trở được hiển thị trong hình, chúng tôi thêm mức tăng là 5,731. Lợi nhuận được đưa ra bởi:

Ra là R5 & R7 và Rb là R6 & R8, điện áp ra được cho bởi:

Có hai vấn đề khi chỉ kết nối bộ khuếch đại này với đầu ra của cây cầu, hiệu ứng tải và thay đổi độ lợi. Việc thay đổi mức khuếch đại của amp yêu cầu bạn phải thay đổi ít nhất hai điện trở vì hai cặp điện trở phải giống nhau, vì vậy việc có hai bình phải có cùng giá trị sẽ rất khó chịu vì vậy chúng tôi sẽ sử dụng một thứ gọi là amp thiết bị đo. mà tôi nói về bên dưới. Hiệu ứng tải là các điện trở đầu vào amp ảnh hưởng đến điện áp rơi trên PT100, chúng ta muốn điện áp trên PT100 không thay đổi và để làm điều này, chúng ta có thể chọn điện trở rất lớn cho các điện trở đầu vào sao cho điện trở song song của PT100 và điện trở đầu vào rất gần với điện trở PT100 nhưng điều này có thể gây ra vấn đề với tiếng ồn và bù đắp điện áp đầu ra mà tôi sẽ không đi sâu vào. Chỉ cần chọn tầm trung trong phạm vi Kohms nhưng như tôi đã nói, có điện trở nhỏ cũng không tốt vì vậy chúng tôi sẽ thay đổi mạch một chút.

Trong hình thứ hai, chúng tôi có đầu ra của cây cầu được kết nối với một bộ khuếch đại thiết bị đo lường, hoạt động một bộ khuếch đại đệm để tách hai nửa của mạch (cầu nối và bộ khuếch đại) cũng như cho phép sử dụng để khuếch đại đầu vào bằng cách thay đổi chỉ một chiết áp (Rgain). Độ lợi của amp thiết bị đo được đưa ra bởi:

trong đó Rc là hai điện trở 3,9k trên và dưới nồi.

Bằng cách giảm Rgain, độ khuếch đại sẽ tăng lên. Sau đó tại điểm Va và Vb (khuếch đại Vb + và Vb-), nó chỉ là một bộ khuếch đại vi sai như trước đây và tổng độ lợi của mạch chỉ là độ lợi nhân với nhau.

Để chọn mức tăng của bạn, bạn muốn làm điều gì đó giống như chúng tôi đã làm trước đây với Roff, chúng tôi nên chọn một điện trở ngay trên nhiệt độ tối đa của bạn trong phạm vi của bạn đề phòng trường hợp nó vượt qua. Vì chúng tôi đang sử dụng Arduino có adc 5V, đầu ra tối đa của mạch phải là 5V ở nhiệt độ tối đa mà bạn đã chọn. Hãy chọn 150ohms làm điện trở tối đa và điện áp cầu không được khuếch đại là 0,1187V, độ lợi chúng ta cần là 42,185 (5 / 0,1187)

Giả sử chúng ta giữ Ra, Rb và Rc là 8.2k, 47k và 3.9k, chúng ta chỉ cần tìm giá trị cho pot Rgain:

Vì vậy, để có được đầy đủ 5 volt ra khỏi phạm vi nhiệt độ chúng tôi đang sử dụng, hãy thay đổi giá trị của Rgain thành 1,226k. Điện áp đầu ra ra khỏi bộ khuếch đại vi sai được cho bởi:

Bước 4: Cấp nguồn cho mạch

Đây là bước cuối cùng của mạch, bạn có thể nhận thấy Vcc + và Vcc- trên mạch op amp, điều này là do chúng cần cả điện áp dương và âm để hoạt động bình thường, bạn có thể nhận op-amps một ray nhưng tôi đã quyết định để sử dụng những chiếc amp này vì đó là những gì tôi đã biết. Vì vậy, chúng tôi sẽ cung cấp + 6V và -6V, có ba cách chúng tôi có thể làm điều này. Đầu tiên được hiển thị trong hình đầu tiên, nơi chúng ta có hai nguồn cấp điện hoặc hai đầu ra đầu ra từ một nguồn điện duy nhất, có cả hai ở 6V và có một đầu ra tích cực được kết nối với cực âm của đầu kia. 6V của nguồn trên sẽ là + 6V của chúng ta, cực dương của nguồn dưới cùng là GND và cực âm của nguồn dưới cùng là -6V. CHỈ KẾT NỐI NÓ NHƯ THẾ NÀY NẾU CÁC GND CỦA HAI NGUỒN CUNG CẤP ĐƯỢC RIÊNG HOẶC NÓ LÀM THIỆT HẠI BỘ CUNG CẤP ĐIỆN CỦA BẠN. Tất cả các nguồn cung cấp điện thương mại sẽ có GND riêng biệt nhưng nếu bạn muốn kiểm tra, hãy sử dụng thiết bị kiểm tra tính liên tục trên đồng hồ vạn năng của bạn, nếu nó kêu vo vo, không sử dụng thiết lập này và sử dụng thiết bị tiếp theo. Trên nguồn cung cấp tự chế của tôi, tôi đã thổi cầu chì làm việc này.

Trong hình thứ hai là thiết lập thứ hai chúng ta có thể có, nó yêu cầu một nguồn cung cấp phải có điện áp gấp đôi nguồn khác nhưng sẽ không làm hỏng nguồn cung cấp nếu các GND được kết nối. Chúng tôi có hai nguồn cung cấp, một ở 12V và một ở 6V. 12V sẽ hoạt động như + 6V của chúng tôi, 6V từ nguồn cung cấp thứ hai sẽ hoạt động như GND và hai GND thực tế từ nguồn cung cấp sẽ hoạt động như -6V.

Thiết lập cuối cùng này dành cho các bộ nguồn chỉ có một đầu ra, nó sử dụng bộ khuếch đại đệm có độ lợi 1 để tạo ra một mặt đất ảo bằng cách truyền một nửa điện áp nguồn qua bộ khuếch đại đệm. Sau đó, 12V sẽ hoạt động như + 6V và thiết bị đầu cuối GND thực tế sẽ là -6V.

Nếu bạn muốn sử dụng pin, tôi khuyên bạn nên thiết lập đầu tiên nhưng một vấn đề với pin là điện áp sẽ giảm khi chúng bắt đầu chết và điện áp ra khỏi cầu cũng sẽ giảm xuống, dẫn đến kết quả đo nhiệt độ sai. Tất nhiên, bạn có thể đọc điện áp từ pin và đưa chúng vào tính toán hoặc sử dụng bộ điều chỉnh và nhiều loại pin hơn. Cuối cùng, đó là vào bạn.

Bước 5: Toàn bộ mạch và mã

Toàn bộ mạch được hiển thị ở trên và nó được tạo trong Circuits.io mới của Autodesk, cho phép bạn tạo mạch trên breadboard, chỉnh sửa sơ đồ mạch (hiển thị trong hình 2) và sơ đồ PCB và phần tốt nhất, cho phép bạn mô phỏng mạch từ breadboard và thậm chí có thể lập trình Arduino và kết nối nó ở chế độ breadboard, ở phần dưới của trang là mô phỏng và bạn có thể chơi xung quanh với hai cái bình. Nếu bạn muốn nhân đôi mạch và đặt các giá trị của riêng mình, bạn có thể tìm mạch ở đây. Nồi đầu tiên là 70ohms và mắc nối tiếp với một điện trở 80ohm mô phỏng PT100 với phạm vi 80-150ohms, nồi thứ hai là độ lợi của amp thiết bị đo. Đáng buồn là tôi đã sử dụng một thư viện mà tôi đã tải xuống cho mã của mình, vì vậy Arduino không được bao gồm trong mạch bên dưới nhưng chỉ có hai dây bổ sung mà bạn cần kết nối. Nếu bạn cảm thấy thoải mái hơn với LTspice, tôi đã bao gồm một tệp asc với mạch.

Kết nối chân A0 với đầu ra của Amp vi sai

Kết nối GND của Arduino với GND của mạch (KHÔNG phải -6V)

Và đó là mạch đã hoàn thành, bây giờ là mã. Trước đó tôi đã đề cập rằng chúng ta sẽ sử dụng công thức y = mx + c, bây giờ chúng ta sẽ tính m (độ dốc) và c (độ lệch). Trong Arduino, chúng ta sẽ đọc điện áp nhưng phương trình nhiệt độ cần chúng ta biết điện trở của PT100, vì vậy cách chúng ta có thể làm là thay thế Serial.println (temp) bằng Serial.println (V) và ghi lại hiệu điện thế và điện trở ở hai nhiệt độ. Khi thực hiện bài kiểm tra này, hãy để yên PT100 một chút, chẳng hạn như một hoặc hai phút và tránh xa bất kỳ nguồn nhiệt nào (ánh sáng mặt trời, quạt máy tính xách tay, cơ thể của bạn, v.v.).

Điểm đầu tiên chúng ta có thể thực hiện là nhiệt độ phòng, khi bạn đã kết nối mạch và hoạt động, hãy ghi lại điện áp (Vt1) được đọc bởi Arduino trên màn hình nối tiếp và nhanh chóng ngắt kết nối PT100 và ghi lại điện trở của nó (Rt1), không đặt của bạn đặt tay vào đầu dò khi ngắt kết nối vì điều này sẽ làm thay đổi điện trở. Đối với nhiệt độ thứ hai, chúng tôi có thể đặt đầu dò vào nước đá hoặc nước nóng (hãy cẩn thận nếu sử dụng nước nóng) và lặp lại những gì chúng tôi đã làm trước khi tìm Vt2 và Rt2. Ngay sau khi bạn đặt đầu dò vào chất lỏng, hãy đợi một hoặc hai phút để điện trở lắng xuống. Nếu bạn quan tâm đến phản ứng thời gian của PT100, hãy ghi lại điện áp tắt của màn hình nối tiếp cứ sau 2 giây hoặc lâu hơn và chúng tôi có thể vẽ biểu đồ từ điều này và tôi sẽ giải thích sau. Sử dụng hai hiệu điện thế và điện trở, chúng ta có thể tính hệ số góc như sau:

Rt1 và Rt2 là điện trở ở hai nhiệt độ và nó đúng với điện áp Vt1 và Vt2. Từ độ dốc và một trong hai tập hợp điểm bạn đã ghi lại, chúng tôi có thể tính toán phần bù:

C phải gần với Roff thực của bạn, Từ mô phỏng của tôi, tôi đã tính toán các giá trị sau:

Từ điện trở này, chúng ta có thể tìm thấy nhiệt độ của mình bằng công thức mà chúng ta đã có lúc đầu:

Và đó là nó, mã cho Arduino ở dưới, nếu bạn có bất kỳ vấn đề, cứ để lại bình luận và tôi sẽ cố gắng giúp đỡ.

Không có hình ảnh về mạch mà tôi đã làm như cách tôi đã làm trước đó và không có PT100 nữa để làm lại và kiểm tra nhưng bạn sẽ phải tin tôi rằng nó hoạt động. Không có nhiều thông tin về PT100 trên Vật phẩm hướng dẫn mà tôi tìm thấy, vì vậy đó là lý do tại sao tôi tạo ra chiếc băng này.

Trong bước tiếp theo, tôi sẽ nói về phản ứng thời gian của PT100 và nếu bạn không quan tâm đến các phép toán, khi bạn đo sự thay đổi nhiệt độ, hãy để PT100 lắng trong một phút hoặc lâu hơn trước khi đọc.

Nếu bạn muốn xem các dự án khác mà tôi đã thực hiện, hãy truy cập

Blog: Roboroblog

Kênh YouTube: Roboro

Hoặc xem các Tài liệu hướng dẫn khác của tôi: tại đây

Nếu HTML gây nhầm lẫn với mã bên dưới, mã sẽ được đính kèm

* Mã này tính toán nhiệt độ bằng PT100

* Được viết bởi Roboro * Github: <a href = "https://github.com/RonanB96/Read-Temp-From-PT100-… <a href =" https://github.com/RonanB96/Read-Temp- From-PT100-… <a href = "https://github.com/RonanB96/Read-Temp-From-PT100-… >>>>>>>>> * Circuit: <a href=" href="https://github.com/RonanB96/Read-Temp-From-PT100-… <a href=" https://github.com/ronanb96/read-temp-from-pt100-…="">>>>>>>>>> * Blog: <a href=" href="https://github.com/RonanB96/Read-Temp-From-PT100-… <a href=" https://github.com/ronanb96/read-temp-from-pt100-…="">>>>>>>>>> * Instrustable Post: <a href=" href="https://github.com/RonanB96/Read-Temp-From-PT100-… <a href=" https://github.com/ronanb96/read-temp-from-pt100-…="">>>>>>>>>> * */ //You'll need to download this timer library from here //https://www.doctormonk.com/search?q=timer #include "Timer.h" // Define Variables float V; float temp; float Rx; // Variables to convert voltage to resistance float C = 79.489; float slope = 14.187; // Variables to convert resistance to temp float R0 = 100.0; float alpha = 0.00385; int Vin = A0; // Vin is Analog Pin A0 Timer t; // Define Timer object

void setup() {

Serial.begin(9600); // Set Baudrate at 9600 pinMode(Vin, INPUT); // Make Vin Input t.every(100, takeReading); // Take Reading Every 100ms } void loop() { t.update(); // Update Timer } void takeReading(){ // Bits to Voltage V = (analogRead(Vin)/1023.0)*5.0; // (bits/2^n-1)*Vmax // Voltage to resistance Rx = V*slope+C; //y=mx+c // Resistance to Temperature temp= (Rx/R0-1.0)/alpha; // from Rx = R0(1+alpha*X) // Uncommect to convet celsius to fehrenheit // temp = temp*1.8+32; Serial.println(temp); }

Step 6: Time Response of PT100

Vì vậy, tôi đã đề cập rằng PT100 có phản hồi chậm nhưng chúng ta có thể nhận được công thức cho nhiệt độ hiện tại được đọc bởi PT100 bất kỳ lúc nào t. Phản hồi của PT100 là phản hồi bậc nhất có thể được viết bằng thuật ngữ Laplace, tức là hàm truyền, như:

trong đó tau (τ) là hằng số thời gian, K là hệ số khuếch đại và s là toán tử Laplace có thể được viết dưới dạng jω trong đó ω là tần số.

Hằng số thời gian cho bạn biết mất bao lâu để hệ thống đơn hàng đầu tiên ổn định ở giá trị mới của nó và một quy tắc hoặc ngón tay cái là 5 * tau là thời gian nó sẽ ổn định ở trạng thái ổn định mới. Độ lợi K cho bạn biết đầu vào sẽ được khuếch đại bao nhiêu. Với PT100, mức tăng là mức độ thay đổi điện trở chia cho sự thay đổi nhiệt độ, từ việc chọn hai giá trị ngẫu nhiên từ biểu dữ liệu này, tôi nhận được mức tăng 0,3856 ohm / C.

Trước khi tôi nói, bạn có thể ghi lại điện áp sau mỗi 2s sau khi bạn đặt đầu dò vào chất lỏng, nóng hoặc lạnh, từ đó chúng ta có thể tính được hằng số thời gian của hệ thống. Đầu tiên, bạn cần xác định đâu là điểm bắt đầu và điểm kết thúc, điểm bắt đầu là điện áp trước khi bạn đặt đầu dò vào chất lỏng và điểm cuối là khi nó lắng xuống. Tiếp theo, trừ chúng đi và đó là sự thay đổi điện áp của bước, thử nghiệm bạn tiến hành là bước thay đổi, tức là sự thay đổi đột ngột đầu vào của hệ thống, bước này là nhiệt độ. Bây giờ trên đồ thị của bạn đi đến 63,2% của sự thay đổi điện áp và thời gian này là hằng số thời gian.

Nếu bạn cắm giá trị đó vào hàm truyền, thì bạn sẽ có công thức để mô tả đáp ứng tần số của hệ thống nhưng đó không phải là điều chúng ta muốn ngay bây giờ, chúng ta muốn nhiệt độ thực tế tại thời điểm t cho một bước nhiệt độ vì vậy chúng ta sẽ để thực hiện một phép biến đổi Laplace ngược của một bước vào hệ thống. Hàm truyền của hệ thống bậc nhất với đầu vào là một bước như sau:

Trong đó Ks là kích thước bước tức là chênh lệch nhiệt độ. Vì vậy, giả sử đầu dò được lắng ở 20 độ C, đặt vào nước ở 30 độ C và đầu dò có hằng số thời gian là 8s, hàm truyền và công thức miền thời gian như sau:

Δ (t) chỉ có nghĩa là một xung, tức là độ lệch DC của 20 độ C trong trường hợp này, bạn chỉ có thể viết 20 trong phương trình của mình khi tính toán điều này. Đây là phương trình tiêu chuẩn cho bước vào hệ thống bậc nhất:

Ở trên tính toán nhiệt độ tại thời điểm t nhưng điều này sẽ làm việc cho điện áp vì chúng tỷ lệ với nhau, bạn chỉ cần giá trị bắt đầu và kết thúc, hằng số thời gian và kích thước bước. Một trang web có tên Symbolab rất tuyệt để kiểm tra xem phép toán của bạn có đúng hay không, nó có thể thực hiện phép Laplace, tích hợp, phân biệt và nhiều thứ khác và nó cung cấp cho bạn tất cả các bước trên đường đi. Có thể tìm thấy phép biến đổi Laplace ngược ở trên.