Đường cong Brachistochrone: 18 bước (có hình ảnh)

2024 Tác giả: John Day | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2024-01-30 13:32

Đường cong Brachistochrone là một bài toán vật lý cổ điển, tính toán đường đi nhanh nhất giữa hai điểm A và B ở các độ cao khác nhau. Mặc dù vấn đề này có vẻ đơn giản nhưng nó đưa ra một kết quả phản trực quan và do đó rất thú vị để xem. Trong tài liệu hướng dẫn này, người ta sẽ tìm hiểu về vấn đề lý thuyết, phát triển giải pháp và cuối cùng là xây dựng một mô hình chứng minh các tính chất của nguyên lý vật lý tuyệt vời này.

Dự án này được thiết kế cho học sinh trung học thực hiện khi họ đang bao quát các khái niệm liên quan trong các lớp lý thuyết. Dự án thực hành này không chỉ củng cố sự hiểu biết của họ về chủ đề mà còn đưa ra sự tổng hợp của một số lĩnh vực khác để phát triển. Ví dụ: trong khi xây dựng mô hình, sinh viên sẽ học về quang học thông qua định luật Snell, lập trình máy tính, mô hình 3D, ghép hình kỹ thuật số và các kỹ năng chế biến gỗ cơ bản. Điều này cho phép cả lớp đóng góp phân chia công việc cho nhau, biến nó thành một nỗ lực của cả nhóm. Thời gian cần thiết để thực hiện dự án này là khoảng một tuần và sau đó có thể được trình diễn trước lớp hoặc cho các học sinh nhỏ tuổi.

Không có cách học nào tốt hơn là học qua STEM, vì vậy hãy làm theo để tạo mô hình Brachistochrone hoạt động của riêng bạn. Nếu bạn thích dự án, hãy bình chọn cho nó trong cuộc thi trong lớp học.

Bước 1: Vấn đề lý thuyết

Bài toán Brachistochrone là bài toán xoay quanh việc tìm một đường cong nối hai điểm A và B ở các độ cao khác nhau, sao cho B không nằm ngay bên dưới A, sao cho việc thả một viên bi dưới tác dụng của trọng trường đều dọc theo đường này sẽ đến B trong thời gian nhanh nhất có thể. Vấn đề được đặt ra bởi Johann Bernoulli vào năm 1696.

Vào tháng 6 năm 1696, Johann Bernoulli hỏi độc giả của Acta Eruditorum, một trong những tạp chí khoa học đầu tiên của các vùng đất nói tiếng Đức ở châu Âu, ông đã nhận được câu trả lời từ 5 nhà toán học: Isaac Newton, Jakob Bernoulli., Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus và Guillaume de l'Hôpital, mỗi người đều có những cách tiếp cận độc đáo!

Cảnh báo: các bước sau chứa câu trả lời và tiết lộ vẻ đẹp đằng sau con đường nhanh nhất này. Hãy dành một chút thời gian để thử và suy nghĩ về vấn đề này, có thể bạn sẽ bẻ khóa nó giống như một trong năm thiên tài này.

Bước 2: Sử dụng định luật Snell để chứng minh

Một trong những cách tiếp cận để giải quyết vấn đề Brachistochrone là giải quyết vấn đề bằng cách rút ra phép tương tự với Định luật Snell. Định luật Snell được sử dụng để mô tả con đường mà một chùm ánh sáng sẽ đi theo để đi từ điểm này đến điểm khác trong khi chuyển tiếp qua hai môi trường khác nhau, sử dụng nguyên lý Fermat, nói rằng một chùm ánh sáng sẽ luôn đi theo đường nhanh nhất. Có thể tìm thấy một công thức chính thức của phương trình này bằng cách truy cập vào liên kết sau.

Vì một vật thể rơi tự do dưới tác dụng của trọng trường có thể được so sánh với chùm ánh sáng truyền qua môi trường thay đổi, nên mỗi lần chùm ánh sáng gặp môi trường mới, chùm sáng sẽ bị lệch đi một chút. Góc của độ lệch này có thể được tính bằng cách sử dụng định luật Snell. Khi người ta tiếp tục thêm các lớp giảm mật độ ở phía trước của chùm ánh sáng lệch, cho đến khi chùm sáng đạt đến góc tới hạn, nơi chùm đơn giản bị phản xạ, quỹ đạo của chùm mô tả đường cong Brachistochrone. (đường cong màu đỏ trong sơ đồ trên)

Đường cong Brachistochrone thực chất là một đường xoáy tròn là đường cong được tạo bởi một điểm trên vành của một bánh xe tròn khi bánh xe lăn dọc theo một đường thẳng mà không bị trượt. Vì vậy, nếu chúng ta cần vẽ đường cong, người ta có thể chỉ cần sử dụng phương pháp trên để tạo ra nó. Một tính chất độc đáo khác của đường cong là một quả bóng được thả từ bất kỳ điểm nào của đường cong sẽ mất chính xác cùng một thời gian để chạm đến đáy. Các bước sau đây mô tả quá trình thực hiện một thí nghiệm trong lớp học bằng cách xây dựng một mô hình.

Bước 3: Mô hình thí nghiệm thực tế

Mô hình bao gồm các đường dẫn laze hoạt động như các đường dẫn cho các viên bi. Để chứng minh rằng đường cong Brachistochrone là đường nhanh nhất từ điểm A đến B, chúng tôi quyết định so sánh nó với hai đường khác. Theo trực giác, một số người sẽ cảm thấy rằng đoạn ngắn nhất là nhanh nhất, chúng tôi quyết định đặt một con dốc thẳng nối cả hai điểm làm con đường thứ hai. Đoạn thứ ba là một khúc cua dốc, vì người ta sẽ cảm thấy rằng sự sụt giảm đột ngột sẽ tạo ra đủ tốc độ để đánh bại phần còn lại.

Thí nghiệm thứ hai, trong đó các quả bóng được thả từ các độ cao khác nhau trên ba đường dẫn điện tử, kết quả là các quả bóng chạm tới cùng một lúc. Do đó, mô hình của chúng tôi có các hướng dẫn được in 3D cung cấp khả năng hoán đổi dễ dàng giữa các tấm acrylic cho phép tiến hành cả hai thí nghiệm.

Cuối cùng, cơ chế phát hành đảm bảo rằng các quả bóng được thả xuống cùng nhau và mô-đun thời gian ở phía dưới ghi lại thời gian khi các quả bóng chạm đến đáy. Để đạt được điều này, chúng tôi đã nhúng ba công tắc giới hạn được kích hoạt khi các quả bóng kích hoạt nó.

Lưu ý: Người ta có thể chỉ cần sao chép thiết kế này và tạo ra nó từ bìa cứng hoặc các vật liệu khác dễ dàng có sẵn

Bước 4: Vật liệu cần thiết

Dưới đây là các bộ phận và nguồn cung cấp để tạo ra một mô hình hoạt động của thí nghiệm Brachistochrone

PHẦN CỨNG:

Ván gỗ thông 1 "- kích thước; 100cm x 10cm

Neodymium Magnetx 4 - kích thước; Đường kính 1cm và chiều cao 0,5cm

In 3D Filament- PLA hoặc ABS đều tốt

Chèn ren M3 x 8 - (tùy chọn)

Chốt M3 x dài 8 - 2,5cm

Vít gỗ x dài 3 - 6cm

Vít gỗ dài 12 - 2,5cm

THIẾT BỊ ĐIỆN TỬ:

Arduino Uno

Giới hạn Switchx 4- các công tắc này sẽ hoạt động như hệ thống thời gian

Nút ấn

Màn hình LCD

Jumpwire x nhiều

Tổng chi phí của mô hình vào khoảng 3 0 $

Bước 5: In 3D

Một số bộ phận như cơ chế phát hành và hộp điều khiển đã được thực hiện với sự trợ giúp của máy in 3d. Danh sách sau đây chứa tổng số bộ phận và thông số kỹ thuật in của chúng. Tất cả các tệp STL được cung cấp trong một thư mục đính kèm ở trên, cho phép một người thực hiện các sửa đổi cần thiết nếu cần.

Hộp điều khiển x 1, 20% nạp

Hướng dẫn x 6, nạp 30%

Dừng kết thúc x 1, nạp 20%

Pivot Arm x 1, 20% infill

Pivot Mount x 1, nạp 30%

Mảnh giải phóng x 1, nạp 20%

Các bộ phận được in bằng PLA vì không có ứng suất cụ thể nào tác động lên các bộ phận. Tổng cộng mất khoảng 40 giờ in.

Bước 6: Cắt laser theo đường dẫn

Các đường dẫn khác nhau mà chúng tôi thiết kế trên fusion 360 được xuất dưới dạng tệp.dxf và sau đó được cắt bằng laser. Chúng tôi chọn acrylic màu trắng đục có độ dày 3mm để làm các đường cong. Người ta thậm chí có thể làm nó từ gỗ bằng các dụng cụ cầm tay nhưng điều quan trọng là phải đảm bảo rằng vật liệu được chọn phải cứng vì độ mềm dẻo có thể ảnh hưởng đến cách quả bóng lăn xuống.

6 x Đường cong Brachistochrone

2 x Đường cong dốc

2 x Đường cong thẳng

Bước 7: Cắt gỗ

Khung của mô hình được làm bằng gỗ. Chúng tôi đã chọn 1 "x 4" thông vì chúng tôi còn lại một số từ một dự án trước đó, mặc dù người ta có thể sử dụng một loại gỗ mà họ lựa chọn. Sử dụng một cái cưa vòng và một thanh dẫn hướng, chúng tôi cắt hai miếng gỗ có chiều dài:

48cm là chiều dài của con đường

31cm là chiều cao

Chúng tôi làm sạch các cạnh thô bằng cách chà nhám nhẹ nó trên máy đánh đĩa.

Bước 8: Khoan lỗ

Trước khi vặn hai miếng với nhau, đánh dấu độ dày của gỗ trên một đầu của miếng dưới cùng và định tâm ba lỗ cách đều nhau. Chúng tôi đã sử dụng một bit 5mm để tạo một lỗ thí điểm trên cả hai miếng gỗ và đục lỗ trên miếng dưới cùng để cho phép đầu vít được điều khiển theo phương thẳng đứng.

Lưu ý: Cẩn thận không tách miếng gỗ theo chiều dọc vì người ta sẽ khoan vào thớ cuối. Cũng sử dụng vít gỗ dài vì điều quan trọng là khung không bị rung và đỉnh do đòn bẩy.

Bước 9: Nhúng tản nhiệt và nam châm

Vì các sợi chỉ trong các bộ phận in 3d có xu hướng bị mòn theo thời gian, chúng tôi quyết định nhúng tản nhiệt. Các lỗ được làm nhỏ hơn một chút để giúp tản nhiệt bám vào nhựa tốt hơn. Chúng tôi đặt các tấm tản nhiệt M3 qua các lỗ và đẩy chúng vào bằng đầu mỏ hàn. Nhiệt làm nóng chảy nhựa, để các răng tự chụm vào trong. Hãy đảm bảo rằng chúng bằng phẳng với bề mặt và vuông góc với nhau. Tổng cộng có 8 vị trí cho các chèn có ren: 4 cho nắp và 4 để gắn Arduino Uno.

Để thuận tiện cho việc gắn đơn vị thời gian, chúng tôi đã nhúng nam châm vào hộp, giúp dễ dàng tháo rời nếu cần thay đổi. Các nam châm cần phải định hướng theo cùng một hướng trước khi được đẩy vào vị trí.

Bước 10: Gắn các công tắc giới hạn

Ba công tắc hành trình được gắn vào một mặt của bộ định thời hướng xuống dưới cùng của đường dẫn. Do đó, khi các quả bóng nhấp vào công tắc, người ta có thể xác định quả bóng nào đạt đến trước và hiển thị thời gian trên màn hình LCD. Hàn các dải dây nhỏ vào các đầu nối và cố định chúng vào các khe bằng một chút keo CA vì chúng sẽ không lỏng ra sau khi gõ liên tục.

Bước 11: Màn hình LCD

Nắp của bộ định thời có một đường cắt hình chữ nhật cho màn hình LCD và một lỗ cho nút "bắt đầu". Chúng tôi đã cố định màn hình bằng những miếng keo nóng cho đến khi nó bằng phẳng với bề mặt của nắp và cố định nút màu đỏ bằng đai ốc gắn của nó.

Bước 12: Đấu dây điện tử

Hệ thống dây bao gồm kết nối các thành phần khác nhau vào các chân bên phải trên Arduino. Làm theo sơ đồ nối dây được đính kèm ở trên để thiết lập hộp.

Bước 13: Tải lên mã

Bạn có thể tìm thấy mã Arduino cho dự án Brachistochrone bên dưới. Có hai lỗ mở trong ngăn điện tử để dễ dàng truy cập vào cổng lập trình của Arduino và giắc cắm nguồn.

Nút màu đỏ được gắn trên đầu hộp được sử dụng để bắt đầu hẹn giờ. Khi các viên bi lăn xuống các đường cong và kích hoạt các công tắc giới hạn, được đặt ở dưới cùng, thời gian sẽ được ghi tuần tự. Sau khi trúng cả ba quả bóng, màn hình LCD hiển thị kết quả, căn chỉnh theo các đường cong tương ứng (hình ảnh đính kèm ở trên). Khi bạn đã ghi nhận kết quả trong trường hợp cần đọc lần thứ hai, chỉ cần nhấn lại nút chính để làm mới bộ đếm thời gian và lặp lại quy trình tương tự.

Bước 14: Hướng dẫn in 3d

Các thanh dẫn được in 3d có đế vật liệu 3mm trước khi các bức tường đỡ bắt đầu. Do đó, khi các tấm acrylic được trượt vào vị trí sẽ có khoảng cách giữa tấm và khung gỗ, làm giảm độ vững chắc của đường đi.

Do đó, thanh dẫn cần phải được nhúng 3mm vào gỗ. Vì chúng tôi không có bộ định tuyến nên chúng tôi đã mang nó đến một xưởng địa phương và thực hiện nó trên một máy phay. Sau một chút chà nhám, các bản in vừa khít và chúng tôi có thể cố định nó bằng vít gỗ từ bên cạnh. Đính kèm ở trên là một bản mẫu cho vị trí của 6 thanh dẫn trên khung gỗ.

Bước 15: Thêm nút chặn và đơn vị thời gian

Vì mô-đun thời gian là một hệ thống riêng biệt nên chúng tôi quyết định tạo một hệ thống lắp và tháo nhanh bằng cách sử dụng nam châm. Bằng cách này, người ta có thể dễ dàng lập trình nó có thể chỉ cần lấy thiết bị ra. Thay vì làm khuôn mẫu để chuyển vị trí của các nam châm cần nhúng vào miếng gỗ chúng ta chỉ việc để chúng kết nối với các nam châm trên hộp sau đó phết một chút keo và đặt hộp lên miếng gỗ. Các vết keo được chuyển vào gỗ cho phép chúng tôi nhanh chóng khoan các lỗ ở các điểm chính xác. Cuối cùng gắn nút chặn in 3d và bộ định thời phải vừa khít nhưng có thể tháo ra chỉ bằng một lực kéo nhẹ

Bước 16: Cơ chế phát hành

Cơ chế phát hành rất đơn giản. Sử dụng đai ốc và bu lông để kết nối chặt chẽ phần C với tay trục, làm cho chúng trở thành một phần chắc chắn. Sau đó khoan hai lỗ ở giữa miếng gỗ dọc và gắn ngàm vào. Trượt một trục quay và cơ chế hoàn tất.

Bước 17: Thử nghiệm

Bây giờ mô hình đã sẵn sàng, người ta có thể thực hiện các thử nghiệm sau

Thí nghiệm 1

Cẩn thận trượt trên các tấm acrylic của con đường thẳng, đường cong hình cánh quạt và con đường dốc (theo thứ tự này để có hiệu ứng tốt nhất). Sau đó kéo chốt lên và đặt ba quả bóng ở đầu đường cong đảm bảo chúng hoàn toàn thẳng hàng với nhau. Giữ chặt chúng ở vị trí bằng chốt xuống. Yêu cầu một học sinh thả các quả bóng và một học sinh khác nhấn nút màu đỏ để bắt đầu hệ thống tính giờ. Cuối cùng quan sát các quả bóng lăn xuống đường đi và phân tích kết quả hiển thị trên mô-đun thời gian. Việc thiết lập một camera để ghi lại cảnh chuyển động chậm thậm chí còn thú vị hơn khi người ta có thể nhìn thấy từng khung hình của cuộc đua.

Thí nghiệm 2

Giống như slide thí nghiệm trước trong các tấm acrylic nhưng lần này tất cả các đường dẫn cần phải là đường cong Brachistonchrone. Cẩn thận yêu cầu một học sinh giữ ba quả bóng ở các độ cao khác nhau và ấn nút màu đỏ khi các quả bóng được thả. Hãy xem khoảnh khắc đáng kinh ngạc khi các quả bóng xếp thành hàng hoàn hảo trước vạch đích và xác nhận kết quả quan sát được.

Bước 18: Kết luận

Việc tạo ra mô hình Brachistochrone là một cách thực hành để xem những cách thức kỳ diệu mà khoa học vận hành. Các thí nghiệm không chỉ thú vị khi xem và hấp dẫn mà còn cung cấp tổng hợp các khía cạnh học tập. Mặc dù chủ yếu là một dự án dành cho học sinh trung học, cả về mặt thực tế và lý thuyết, nhưng phần trình diễn này có thể dễ dàng nắm bắt được bởi các em nhỏ hơn và có thể được trình bày dưới dạng một bài trình bày đơn giản hóa.

Chúng tôi muốn khuyến khích mọi người làm nên mọi thứ, dù là thành công hay thất bại, vì cuối ngày STEM luôn là niềm vui! Chúc bạn làm vui vẻ!

Hãy bỏ phiếu trong cuộc thi trong lớp học nếu bạn thích các tài liệu hướng dẫn và để lại phản hồi của bạn trong phần bình luận.

Giải thưởng lớn trong Cuộc thi Khoa học Lớp học