Gaussian và Parabol để nghiên cứu quang thông LED của đèn thí nghiệm: 6 bước

2024 Tác giả: John Day | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2024-01-30 13:30

Xin chào tất cả các nhà sản xuất và cộng đồng nhộn nhịp của Người có thể hướng dẫn.

Lần này Merenel Research sẽ mang đến cho bạn một vấn đề thuần túy nghiên cứu và cách giải quyết nó bằng toán học.

Tôi đã tự mình gặp sự cố này khi đang tính toán thông lượng LED của đèn LED RGB mà tôi đã chế tạo (và tôi sẽ hướng dẫn cách xây dựng). Sau khi tìm kiếm rộng rãi trên mạng, tôi không tìm thấy câu trả lời, vì vậy ở đây tôi đăng giải pháp.

VẤN ĐỀ

Rất thường xuyên trong vật lý, chúng ta phải xử lý các đường cong có hình dạng của phân bố Gauss. Đúng! Đó là đường cong hình chuông được sử dụng để tính toán xác suất và được mang đến cho chúng ta từ nhà toán học vĩ đại Gauss.

Đường cong Gauss được sử dụng rộng rãi trong các ứng dụng vật lý đời thực, đặc biệt khi chúng ta phải xử lý bức xạ truyền từ nguồn hoặc nhận từ máy thu, ví dụ:

- sự phát ra công suất của tín hiệu vô tuyến (ví dụ: Wi-Fi);

- quang thông phát ra từ đèn LED;

- việc đọc một điốt quang.

Trong biểu dữ liệu của nhà sản xuất, chúng ta thường được cung cấp giá trị thực của diện tích Gaussian, đó sẽ là tổng công suất bức xạ hoặc quang thông trong một phần nhất định của quang phổ (ví dụ: đèn LED), nhưng rất khó để tính toán bức xạ thực tế phát ra ở đỉnh của đường cong hoặc thậm chí khó biết được bức xạ chồng lên nhau của hai nguồn gần nhau, ví dụ nếu chúng ta đang chiếu sáng với nhiều hơn một đèn LED (ví dụ: Xanh lam và Xanh lục).

Trong bài báo có hướng dẫn này, tôi sẽ giải thích cho bạn cách tính gần đúng Gaussian với một đường cong dễ nắm bắt hơn: một parabol. Tôi sẽ trả lời cho câu hỏi: có bao nhiêu đường cong Gauss trong một Parabol?

SPOILER → CÂU TRẢ LỜI LÀ:

Khu vực Gaussian luôn là 1 đơn vị.

Diện tích của parabol tương ứng có cùng đáy và chiều cao lớn hơn 2,13 lần diện tích Gaussian tương đối (xem hình để minh họa bằng đồ họa).

Vì vậy, một Gaussian bằng 46,94% parabol của nó và mối quan hệ này luôn đúng.

Hai số này có quan hệ với nhau theo cách này 0,46948 = 1 / 2,13, đây là quan hệ toán học chặt chẽ giữa đường cong Gaussian và parabol của nó và ngược lại.

Trong hướng dẫn này, tôi sẽ dẫn bạn khám phá điều này từng bước.

Công cụ duy nhất chúng ta cần là Geogebra.org, một công cụ toán học trực tuyến tuyệt vời để vẽ biểu đồ.

Biểu đồ Geogebra tôi đã thực hiện để so sánh một parabol với một Gaussian có thể được tìm thấy tại liên kết này.

Hướng dẫn này dài vì là về một cuộc trình diễn, nhưng nếu bạn phải nhanh chóng giải quyết vấn đề tương tự như tôi đã gặp với quang thông của đèn LED hoặc hiện tượng khác với các đường cong Gaussian chồng chéo, vui lòng chỉ cần xem bảng tính mà bạn sẽ tìm thấy đính kèm ở bước 5 trong số hướng dẫn này, sẽ giúp cuộc sống của bạn dễ dàng hơn và tự động thực hiện tất cả các phép tính cho bạn.

Tôi hy vọng bạn thích toán học ứng dụng vì tài liệu hướng dẫn này là về nó.

Bước 1: Tìm hiểu ánh sáng phát ra từ đèn LED đơn sắc

Trong phân tích này, tôi sẽ xem xét một loạt đèn LED màu, như bạn thấy rõ ràng từ biểu đồ quang phổ của chúng (hình đầu tiên) sự phân bố công suất quang phổ của chúng thực sự trông giống như một Gaussian hội tụ thành trục x ở -33 và + 33nm của giá trị trung bình (các nhà sản xuất thường đưa ra thông số kỹ thuật này). Tuy nhiên, hãy xem xét rằng biểu đồ này chuẩn hóa tất cả các quang phổ trên một đơn vị công suất duy nhất, nhưng đèn LED có công suất khác nhau tùy theo mức độ hiệu quả được sản xuất và dòng điện (mA) bạn cấp vào chúng.

Như bạn có thể thấy đôi khi quang thông của hai đèn LED trùng nhau trên quang phổ. Giả sử tôi muốn dễ dàng tính toán diện tích chồng lên nhau của những đường cong đó, bởi vì trong khu vực đó sẽ có lượng điện năng gấp đôi và tôi muốn biết chúng ta có bao nhiêu công suất tính theo hệ số lumen (lm) ở đó, điều đó không đúng. một nhiệm vụ dễ dàng mà chúng tôi sẽ cố gắng giải đáp trong hướng dẫn này. Vấn đề nảy sinh bởi vì khi tôi đang chế tạo đèn thí nghiệm, tôi thực sự muốn biết quang phổ Xanh lam và Xanh lục trùng nhau bao nhiêu.

Chúng tôi sẽ chỉ tập trung vào các đèn LED đơn sắc phát ra ở một phần hẹp của quang phổ. Trong biểu đồ: ROYAL BLUE, BLUE, GREEN, ORANGE-RED, RED. (Đèn thực tế tôi xây dựng là RGB)

CƠ SỞ VẬT LÝ

Hãy tua lại một chút và giải thích một chút về vật lý lúc đầu.

Mỗi đèn LED đều có một màu, hay nói một cách khoa học hơn chúng ta có thể nói là có bước sóng (λ) xác định nó và được đo bằng nanomet (nm) và λ = 1 / f, trong đó f là tần số dao động của photon.

Vì vậy, cái mà chúng ta gọi là ĐỎ về cơ bản là một nhóm (lớn) các photon dao động ở bước sóng 630nm, các photon đó va vào vật chất và dội lại trong mắt chúng ta, chúng hoạt động như các thụ thể, và sau đó não của bạn xử lý màu của vật thể là ĐỎ; hoặc các photon có thể đi thẳng vào mắt bạn và bạn sẽ thấy đèn LED phát ra chúng phát sáng màu ĐỎ.

Người ta phát hiện ra rằng cái mà chúng ta gọi là ánh sáng thực ra chỉ là một phần nhỏ của Quang phổ Điện từ, trong khoảng từ 380nm đến 740nm; nên ánh sáng là sóng điện từ. Điều gây tò mò về phần quang phổ đó là nó chính xác là phần quang phổ dễ dàng đi qua nước hơn. Đoán xem nào? Tổ tiên xa xưa của chúng ta từ Món Súp Nguyên Thủy thực sự ở trong nước, và ở trong nước, nơi những sinh vật sống đầu tiên, phức tạp hơn, bắt đầu phát triển đôi mắt. Tôi khuyên bạn nên xem video của Kurzgesagt mà tôi đã đính kèm để hiểu rõ hơn ánh sáng là gì.

Tóm lại, một đèn LED phát ra ánh sáng, là một lượng công suất đo bức xạ (mW) nhất định ở một bước sóng nhất định (nm).

Thông thường, khi chúng ta xử lý ánh sáng nhìn thấy, chúng ta không nói về công suất đo bức xạ (mW) mà nói về quang thông (lm), là một đơn vị đo được cân bằng phản ứng với ánh sáng nhìn thấy của mắt con người, nó hình thành đơn vị đo candela, và nó được đo bằng lumen (lm). Trong phần trình bày này, chúng ta sẽ xem xét các đèn LED phát ra lumen nhưng mọi thứ sẽ áp dụng cho mW chính xác ở mức độ tương tự.

Trong bất kỳ bảng dữ liệu LED nào, nhà sản xuất sẽ cung cấp cho bạn những thông tin sau:

Ví dụ từ biểu dữ liệu đính kèm này, bạn thấy rằng nếu bạn cấp nguồn cho cả hai đèn led với 100mA, bạn có:

BLUE ở bước sóng 480nm và có quang thông 11lm;

GREEN ở bước sóng 530nm và có quang thông 35lm.

Điều này có nghĩa là Đường cong Gaussian Curve of Blue sẽ cao hơn, nó sẽ tăng đột biến hơn, mà không thay đổi về chiều rộng của nó và nó sẽ dao động xung quanh phần được giới hạn bởi đường màu xanh lam. Trong bài báo này, tôi sẽ giải thích cách tính độ cao của Gaussian thể hiện toàn bộ công suất đỉnh do đèn LED phát ra, không chỉ công suất phát ra trong phần quang phổ đó, tiếc là giá trị đó sẽ thấp hơn. Hơn nữa, tôi sẽ cố gắng ước tính gần đúng phần chồng chéo của hai đèn LED để hiểu mức độ quang thông bị chồng lên nhau khi chúng ta xử lý các đèn LED là "hàng xóm" trong quang phổ.

Đo thông lượng của đèn LED là một vấn đề rất phức tạp, nếu bạn muốn biết thêm, tôi đã tải lên một bài báo chi tiết của Osram giải thích cách mọi thứ được thực hiện.

Bước 2: Giới thiệu về Parabol

Tôi sẽ không đi sâu vào chi tiết về parabol là gì vì nó được học rất nhiều ở trường.

Phương trình của một parabol có thể được viết dưới dạng sau:

y = ax ^ 2 + bx + c

ARCHIMEDES GIÚP CHÚNG TÔI

Điều tôi muốn nhấn mạnh là một định lý hình học quan trọng của Archimedes. Định lý cho biết diện tích của một parabol giới hạn trong một hình chữ nhật bằng 2/3 diện tích hình chữ nhật. Trong hình đầu tiên với hình parabol, bạn có thể thấy rằng diện tích màu xanh là 2/3 và diện tích màu hồng là 1/3 diện tích của hình chữ nhật.

Chúng ta có thể tính toán parabol và phương trình của nó khi biết ba điểm của parabol. Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi sẽ tính toán đỉnh và chúng tôi biết các giao điểm với trục x.

Đỉnh LED BLUE (480,?) Y của đỉnh bằng công suất phát sáng ở bước sóng cực đại. Để tính toán nó, chúng ta sẽ sử dụng mối quan hệ tồn tại giữa diện tích của một Gaussian (thông lượng thực tế do đèn LED phát ra) và một của một parabol và chúng ta sẽ sử dụng định lý Archimedes để biết chiều cao của hình chữ nhật có chứa parabol đó.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

MÔ HÌNH PARABOLIC

Nhìn vào hình ảnh mà tôi đã tải lên, bạn có thể thấy một mô hình phức tạp để biểu diễn với các parabol một số quang thông LED khác nhau, nhưng chúng tôi biết rằng cách biểu diễn của chúng không chính xác như vậy vì nó giống với Gaussian hơn.

Tuy nhiên, với parabol, sử dụng công thức toán học, chúng ta có thể tìm thấy tất cả các giao điểm của một số parabol và tính diện tích giao nhau.

Trong bước 5, tôi đã đính kèm một bảng tính, trong đó tôi đã đặt tất cả các công thức để tính tất cả các parabol và diện tích giao nhau của chúng của các đèn LED đơn sắc.

Thông thường, cơ sở của Gaussian của đèn LED lớn 66nm, vì vậy nếu chúng ta biết bước sóng ưu thế và chúng ta tính gần đúng bức xạ LED với một parabol, chúng ta biết rằng parabol tương đối sẽ cắt trục x trong λ + 33 và λ-33.

Đây là mô hình gần đúng với tổng ánh sáng phát ra của đèn LED với hình parabol. Nhưng chúng ta biết rằng nếu chúng ta muốn chính xác thì nó không chính xác, chúng ta cần sử dụng đường cong Gauss, nó sẽ đưa chúng ta đến bước tiếp theo.

Bước 3: Giới thiệu về Đường cong Gaussian

Một Gaussian, nó là một đường cong nghe phức tạp hơn một đường parabol. Nó được Gauss phát minh ra để giải thích các lỗi. Trên thực tế, đường cong này rất hữu ích để xem phân phối xác suất của một hiện tượng. Khi chúng ta di chuyển về phía trái hoặc phải từ mức trung bình, chúng ta có một hiện tượng nào đó ít thường xuyên hơn và như bạn có thể thấy từ hình cuối cùng, đường cong này là một sự xấp xỉ rất tốt của các lần xuất hiện trong đời thực.

Công thức Gaussian là công thức đáng sợ mà bạn thấy như bức tranh thứ hai.

Các thuộc tính Gaussian là:

- đối xứng với giá trị trung bình;

- x = μ không chỉ trùng với trung bình cộng mà còn trùng với trung vị và thức;

- nó là tiệm cận tại trục x ở mọi phía;

- nó giảm đối với xμ;

- nó có hai điểm uốn theo x = μ-σ;

- diện tích dưới đường cong là 1 đơn vị (là xác suất mà bất kỳ x nào sẽ xác minh)

σ là độ lệch chuẩn, số càng lớn thì cơ sở Gaussian càng rộng (hình đầu tiên). Nếu một giá trị nằm trong phần 3σ, chúng ta sẽ biết rằng nó thực sự di chuyển ra xa giá trị trung bình và sẽ có ít xác suất xảy ra hơn.

Trong trường hợp của chúng tôi, với đèn LED, chúng tôi biết khu vực của Gaussian là quang thông được đưa ra trong biểu dữ liệu của nhà sản xuất tại một đỉnh bước sóng nhất định (là giá trị trung bình).

Bước 4: Trình diễn với Geogebra

Trong phần này, tôi sẽ hướng dẫn bạn cách sử dụng Geogebra để chứng minh rằng một parabol gấp 2,19 lần Gaussian của nó.

Đầu tiên, bạn phải tạo một vài biến, nhấp vào lệnh slider:

Độ lệch chuẩn σ = 0,1 (độ lệch chuẩn xác định độ rộng của đường cong Gauss, tôi đặt một giá trị nhỏ vì tôi muốn làm cho nó hẹp lại để mô phỏng phân bố công suất quang phổ LED)

Giá trị trung bình là 0 nên Gaussian được xây dựng trên trục y, nơi nó dễ làm việc hơn.

Bấm vào chức năng sóng nhỏ để kích hoạt phần chức năng; ở đó bằng cách nhấp vào fx, bạn có thể chèn công thức Gaussian và bạn sẽ thấy xuất hiện trên màn hình một Đường cong Gaussian cao đẹp.

Về mặt đồ họa, bạn sẽ thấy nơi đường cong hội tụ trên trục x, trong trường hợp của tôi là X1 (-0.4; 0) và X2 (+0.4; 0) và đỉnh ở đâu trong V (0; 4).

Với ba điểm này, bạn có đủ thông tin để tìm phương trình của parabol. Nếu bạn không muốn tính toán bằng tay, hãy sử dụng trang web này hoặc bảng tính trong bước tiếp theo.

Sử dụng lệnh function (fx) để điền vào hàm parabol mà bạn vừa tìm thấy:

y = -25x ^ 2 +4

Bây giờ chúng ta phải hiểu có bao nhiêu Gaussian trong một parabol.

Bạn sẽ phải sử dụng lệnh hàm và chèn lệnh Tích phân (hoặc Tích hợp trong trường hợp của tôi, vì tôi đang sử dụng phiên bản tiếng Ý). Tích phân xác định là một phép toán cho phép chúng ta tính diện tích của một hàm được xác định từ các giá trị đến x. Nếu bạn không nhớ tích phân xác định là gì, hãy đọc ở đây.

a = Tích phân (f, -0.4, +0.4)

Công thức Geogebra này sẽ giải tích phân xác định giữa -0,4 và +0,4 của hàm f, Gaussian. Khi chúng ta đang xử lý một Gaussian, diện tích của nó là 1.

Làm tương tự với parabol và bạn sẽ khám phá ra con số kỳ diệu 2.13. Đó là con số quan trọng để thực hiện tất cả các chuyển đổi quang thông với đèn LED.

Bước 5: Ví dụ trong cuộc sống thực với đèn LED: Tính toán đỉnh dòng chảy và dòng chồng chéo

LUMINOUS FLUX TẠI ĐỈNH

Để tính toán chiều cao thực của các đường cong Gaussian khuấy của phân bố thông lượng LED, bây giờ chúng ta đã phát hiện ra hệ số chuyển đổi 2,19, rất dễ dàng.

Ví dụ:

BLUE LED có quang thông 11lm

- chúng tôi chuyển đổi từ thông này từ Gaussian sang parabol 11 x 2,19 = 24,09

- chúng ta sử dụng Định lý Archimedes để tính diện tích hình chữ nhật tương đối có chứa parabol 24,09 x 3/2 = 36,14

- chúng tôi tìm thấy chiều cao của hình chữ nhật đó chia cho cơ sở của Gaussian cho đèn LED XANH, được đưa ra trong biểu dữ liệu hoặc được nhìn thấy trên biểu đồ biểu dữ liệu, thường là khoảng 66nm và đó là sức mạnh của chúng tôi ở đỉnh 480nm: 36,14 / 66 = 0,55

KHU VỰC FLUX LUMINOUS HẤP DẪN

Để tính toán hai bức xạ chồng chéo, tôi sẽ giải thích bằng một ví dụ với hai đèn LED sau:

BLUE ở bước sóng 480nm và có quang thông 11lm GREEN ở bước sóng 530nm và có quang thông 35lm

Chúng tôi biết và chúng tôi thấy từ biểu đồ rằng cả hai đường cong Gaussian đều hội tụ trong -33nm và + 33nm, do đó chúng ta biết rằng:

- BLUE giao trục x trong 447nm và 531nm

- GREEN giao trục x trong 497nm và 563nm

Chúng ta thấy rõ rằng hai đường cong cắt nhau vì một đầu của đường cong thứ nhất nằm sau điểm đầu của đường cong kia (531nm> 497nm) nên ánh sáng của hai đèn LED này trùng nhau ở một số điểm.

Trước hết chúng ta phải tính toán phương trình parabol cho cả hai. Bảng tính kèm theo là để giúp bạn tính toán và đã nhúng các công thức để giải hệ phương trình để xác định hai parabol khi biết trục x giao điểm và đỉnh:

Hình parabol XANH: y = -0,0004889636025x ^ 2 + 0,4694050584x -112.1247327

Hình parabol XANH: y = -0,001555793281x ^ 2 + 1,680256743x - 451,9750618

trong cả hai trường hợp a> 0 và, do đó, parabol hướng ngược lại một cách chính xác.

Để chứng minh rằng parabol này là đúng, chỉ cần điền vào a, b, c trong công cụ tính đỉnh tại trang web máy tính parabol này.

Trên bảng tính, tất cả các phép tính đã được thực hiện để tìm các giao điểm giữa các parabol và tính tích phân xác định để thu được các vùng giao nhau của các parabol đó.

Trong trường hợp của chúng tôi, vùng giao nhau của quang phổ LED xanh lam và xanh lục là 0,4247.

Khi chúng ta đã có các parabol giao nhau, chúng ta có thể nhân diện tích giao nhau mới thành lập này cho hệ số nhân Gaussian 0,4694 và tìm một giá trị gần đúng về tổng công suất mà các đèn LED phát ra cùng nhau trong phần đó của quang phổ. Để tìm thông lượng LED đơn phát ra trong phần đó, chỉ cần chia cho 2.

Bước 6: Nghiên cứu về đèn LED đơn sắc của đèn thí nghiệm đã hoàn thành

Vâng, cảm ơn bạn rất nhiều vì đã đọc nghiên cứu này. Tôi hy vọng nó sẽ hữu ích cho bạn để hiểu sâu sắc về cách ánh sáng phát ra từ đèn.

Tôi đang nghiên cứu thông lượng của đèn LED của một loại đèn đặc biệt được làm bằng ba loại đèn LED đơn sắc.

"Nguyên liệu" để làm ra chiếc đèn này là:

- 3 BLU LED

- 4 LED XANH

- 3 LED ĐỎ

- 3 điện trở để hạn chế dòng điện trong các nhánh mạch LED

- Nguồn điện 12V 35W

- Bìa Acrylic nổi

- Điều khiển OSRAM OT BLE DIM (Bộ điều khiển đèn LED Bluetooth)

- Nhôm tản nhiệt

- Bu lông và đai ốc M5 và giá đỡ L

Kiểm soát mọi thứ bằng Ứng dụng Casambi từ điện thoại thông minh của bạn, bạn có thể bật và làm mờ từng kênh LED riêng biệt.

Để chế tạo đèn rất đơn giản:

- gắn đèn LED vào bộ tản nhiệt bằng băng dính hai mặt;

- Hàn tất cả các BLU LED mắc nối tiếp với một điện trở và làm tương tự với màu khác cho mỗi nhánh của mạch. Theo các đèn LED bạn sẽ chọn (tôi đã sử dụng đèn LED Lumileds), bạn sẽ phải chọn kích thước điện trở liên quan đến lượng dòng điện bạn sẽ cấp vào đèn LED và với tổng điện áp được cung cấp bởi nguồn điện 12V. Nếu bạn không biết cách làm điều này, tôi khuyên bạn nên đọc hướng dẫn tuyệt vời này về cách xác định kích thước của điện trở để giới hạn dòng điện của một loạt đèn LED.

- kết nối các dây với mỗi kênh của Osram OT BLE: tất cả cực dương chính của các nhánh của đèn LED đi đến điểm chung (+) và ba cực âm của các nhánh tương ứng đi tới -B (xanh lam) -G (xanh lục) -R (đỏ).

- Đấu dây nguồn vào đầu vào của Osram OT BLE.

Bây giờ điều thú vị về Osram OT BLE là bạn có thể tạo kịch bản và lập trình các kênh LED, như bạn có thể thấy trong phần đầu tiên của video, tôi đang làm mờ ba kênh và trong phần thứ hai của video, tôi đang sử dụng một số các kịch bản ánh sáng được tạo sẵn.

KẾT LUẬN

Tôi đã sử dụng rộng rãi toán học để hiểu sâu sắc cách truyền thông lượng của đèn này.

Tôi thực sự hy vọng rằng bạn đã học được điều gì đó hữu ích ngày hôm nay và tôi sẽ cố gắng hết sức để mang đến nhiều trường hợp nghiên cứu ứng dụng sâu sắc hơn như thế này.

Nghiên cứu là chìa khóa!

Thật lâu!

Pietro